吃火锅想到的一个概率问题：锅里还剩几个蛋

[morningD]

背景：假如我去吃火锅，已知锅里有 N 个鹌鹑蛋，我想要把这些蛋捞来吃。每个蛋被捞到的概率均为 P （重庆火锅红汤，看不到锅底，），并且一次捞出的个数没有限制。但是，如果我连续 T 次都没捞到，那我就会放弃。

问题：当我放弃后，锅里剩下的鹌鹑蛋的个数的期望 E 是多少？（可以假设 N=10, P=0.2, T=5 ）

这应该是一个概率论问题，一直没想到如何得到公式解。用程序模拟得到数据解应该是可行的。

补充一下结论： N=10, P=0.2, T=5的情况下，E=0.5499853034737232（根据9楼的DP解法得到）

结果可以参考下图：

左图是我用程序模拟的，右图是DP解法。E随着T的增加快速下降，N的增加不会带来E的显著提升。可以看到坚持捞5次是不错的选择，E<1。

可以总结出一个有趣（但无用）的吃蛋小技巧，无论放了多少蛋在锅里，当你的耐心值 T 固定时，剩下的蛋的期望是基本一致的。

[daen]

瞎猜一下：N*(1-P)^T

[morningD]

@daen 你的思路是转换成等价的问题吧。对于每个蛋来说，连续 5 次没被捞到的概率是(1-P)^T，所以根据二项分布的期望，剩下的个数的期望是 N*(1-P)^T 。感觉挺合理的

[murmur]

E=0，因为你捞不出来那肯定是都被别人捞走了，吃火锅是那么大一个漏勺，如果你鹌鹑蛋都捞不出来他大概率就是没了

[vinew]

@murmur 那如果一个人吃海底捞的情景，蛋一定是被服务员捞走了🤣

[gwy15]

能解出来解析表达式，我得写写。最后得解一个 n 元 1 次方程，或者递归也可以。

[Jooooooooo]

挺好的问题, 可以上知乎问问

[murmur]

既然有兄弟想认真讨论，我就写几句
这种把现实生活转到数学上肯定加了巨多的限制，否则没法解，比如我提几个
1 、楼主捞蛋是怎么进行的，是一个地方一下还是围着锅转一圈
2 、有其他的食材干扰楼主判断么，比如你是捞到大的东西就去看一下
3 、总在一个地方捞么，如果捞不到会不会换地方
4 、有没有其他人干扰你捞食材
本人挑食，涮锅子基本上荤菜只吃鹌鹑蛋，专业捞蛋选手，只要锅里有我绝对能给他捞出来，你还想让我放弃

[TigerK]

额，吃火锅从来没点过鹌鹑蛋，想问问好吃不？是连壳子一块下去煮吗？

[gwy15]

https://gwy15.com/blog/%E7%81%AB%E9%94%85%E6%8D%9E%E8%9B%8B

v 站不支持公式，我丢我博客去了。相对于直接求解 DP 的 O(n^2 T) ，把复杂度降到了 O(n^2)。由最后的分式结果我比较怀疑能找到 O(n) 的解法。

[sephinh]

在你思考这个问题的时候，蛋已经全被别人拿漏勺打扫干净了....

[murmur]

@TigerK 很好吃，一般都是剥皮煮熟的给你，自助火锅可能要自己剥皮

[morningD]

@daen 我写了一个简单的程序验证了一下，根据前面假设的数值，循环 1000 次的平均期望是 0.001 ，N*(1-P)^T=3.2768，所以你的猜想大概率不正确

[morningD]

@TigerK 还不错哦，基本每次必点，一般都是煮好的并剥好的，烫一下就能吃

[morningD]

@sephinh 哈哈，但是这又回到了这个概率问题，别人如何确定已经打扫干净了呢？根据我多次吃火锅（红汤）的经验，永远不知道锅底还剩下什么

[morningD]

@murmur 其实我就想知道的就是这个“大概率”是多少

[morningD]

@gwy15 非常感谢，我去写个程序验证一下。另外，咱把这个问题扩展一下，如果希望期望<e，那么 T 的最小下界应该是多少呢？
假如 e=1，是的，我最多只能忍受送一个蛋给服务员，那我应该怎么捞

[Elethom]

感觉这里用户的统计学水平还不如手游玩家，这种抽卡期望的问题早就被研究透彻了。

帮你转化一下：十连抽，SSR 掉率 20%，抽到就收手，抽五次还没抽到就不抽了。

[morningD]

@Elethom 不是等价的问题，锅里蛋的个数是固定了，并且也有一次捞到多个的情况

[Elethom]

@morningD 你再想想。

[murmur]

@Elethom 抽卡也是不一样的，fgo 国服以前有保底，比如说 5%的概率，那 20 抽（次）就是必出

[murmur]

楼主这个问题应该假设为，一个锅里分布着鱼蛋和鹌鹑蛋，问捞起鹌鹑蛋的期望是多少，先简化问题才能分析，首先得保证能捞到东西，如果捞不到东西我就会满锅扒拉

[dingyaguang117]

因为连续捞 T 次没捞到，这个过程就会结束。所以这个动作序列的总长度为

(T-1)*(N-1) + 1 。

我觉得可以用暴力搜索解决

[dingyaguang117]

@dingyaguang117 更正，总长度最大为 (T-1)*(N-1) + 1

[morningD]

@morningD
@daen 12 楼的模拟错了，应该是 0.615 。sorry

[Elethom]

@murmur 杠精？

[morningD]

@Elethom 你是正确的。准确来说，对应的是有 N 个 SSR，连续 5 次 10 连没抽到新卡就放弃的情况。

[daen]

@morningD 的确，我给的算法有很大问题，没有考虑蛋和蛋相互之间的影响，这导致了最终结果的误差非常大

[newtype0092]

@murmur “每个蛋被捞到的概率均为 P，并且一次捞出的个数没有限制”，这个就是明确的数学条件，背景只是套一个场景，条件一致的情况下用勺子捞蛋看是否捞出和扔骰子看点数没有区别，讨论概率问题谁管你说的那些“情况”。

[murmur]

@newtype0092 好吧，这么复杂的一个问题就被简化为这么简单一个模型，还一时间让人接受不了

[trn4]

@morningD 建议你把你的模拟代码发出来，这种概率问题的“模拟”程序很有可能有错。

[sixg0d]

初高中搞数学竞赛的对这种题就不陌生了，记得华东师大的竞赛丛书里有一册讲概率的，很多这种类型的题，还套上了驴象之争、东风西风之类的背景，挺有意思的。

9 楼 @gwy15 给出的(1.7)式可以直接推出来的。根据（捞到的）首次捞出来的个数分情况（也就是求条件期望），如果一直没捞到，就是式中的首项，首次捞到 L 个蛋的条件下，最后的期望就是 f(n-L)，而捞到 L 的概率就是若干次(0~T-1)捞空紧随着一次 L 的概率，也就是(1.7)式中 f(n-L)的系数。具体的求和号前是若干次捞空的概率，后面是捞 L 的二项式概率。

[sixg0d]

至于你说的期望不太受 N 影响，用这种递推想法可以很直观得解释：有 N 蛋而结束捞蛋的概率是(1-p)^{NT}，所以有很大概率会继续捞下去，所以最后的期望约等于 N 比较小的时候。至于 N 比较小时期望的变化，以及你所说的合理策略，其实是跟 p 有关的

[967182]

哎，我次火锅的时候就光顾着捞了，捞完就往嘴里塞，重来没想过这么高深的问题。

[zhuweiyou]

蛋不够了，喊服务员再叫一盘吧。

[garyzhuang]

这取决于汤勺的大小吧

[richieboy]

P 的值明显是越来越小的